Téori probabilitas. Probabilitas hiji kajadian, acara occasional (tiori probabiliti). kamajuan bebas tur sauyunan dina téori probabilitas

Eta masih aya kacangcayaan éta loba jalma pikir kasebut nyaéta dimungkinkeun pikeun cacah acara, anu keur extent sababaraha kahaja. Nempatkeun eta dina kecap basajan, éta realistis uninga nu sisi cukang dina dadu bakal tumiba waktos salajengna. Ieu patarosan ieu nanya dua ilmuwan hébat, neundeun pondasi pikeun elmu ieu, tiori ngeunaan probabilitas, probabilitas kajadian nu diulik cukup éksténsif.

turunan

Lamun nyobaan keur ngartikeun konsép sarupaning sakumaha téori probabilitas, urang meunang di handap: ieu salah sahiji cabang tina matematik nu ngulik constancy kajadian acak. Jelas, Konsep ieu bener henteu nembongkeun panggih, jadi Anjeun kudu nganggap hal éta dina leuwih jéntré.

Abdi hoyong mimitian ku pendiri teori. Salaku ieu didadarkeun di luhur, aya dua, nu Per Ferma na Blez Paskal. Maranéhanana kahiji nyoba ngagunakeun rumus sarta itungan matematik keur ngitung hasil tina hiji acara. Sacara umum, rudiments élmu ieu téh malah dina Abad Pertengahan. Bari rupa pamikir tur élmuwan geus diusahakeun analisa kaulinan kasino kayaning roulette, craps, jeung saterusna, kukituna pikeun ngadegkeun pola, sarta persentase leungitna jumlah hiji. yayasan ieu ogé diteundeun dina abad seventeenth dinya éta ulama disebut tadi.

Dina awalna, karya maranéhanana bisa teu attributed kana prestasi hébat dina widang ieu, sanggeus kabeh, naon maranehna, maranéhanana éta saukur fakta empirik na percobaan éta jelas tanpa ngagunakeun rumus. Kana waktu, eta tos ngahontal hasil hébat, anu mecenghul salaku hasil tina observasi nu matak ti tulang. Hal ieu alat ieu geus mantuan mawa rumus béda munggaran.

ngarojong

Teu nyebut hiji lalaki kayaning Christiaan Huygens, dina prosés diajar subjek nu ngasuh nami "tiori probabiliti" (probabiliti acara highlights eta dina elmu ieu). jalma ieu pisan metot. Anjeunna, kitu ogé élmuwan dibere luhur anu diusahakeun dina bentuk Rumusna matematik pikeun deduce hiji pola kajadian acak. Éta noteworthy yén anjeunna teu bagikeun eta kalawan Pascal na Fermat, éta téh sadaya karyana teu tumpang tindih jeung pamadegan pikiran. Huygens diturunkeun konsep dasar tiori probabiliti.

Hiji kanyataan metot éta karyana sumping lila saméméh hasil karya panaratas, janten pasti, dua puluh taun saméméhna. Aya ngan diantara konsep dicirikeun nya éta:

• salaku konsép kasempetan nilai probability;
• frékuénsi ékspéktasi keur kasus diskrit;
• theorems tina tambahan sarta multiplication of probabiliti.

Ogé, hiji teu tiasa hilap Yakoba Bernulli, anu ogé nyumbang ka ulikan ngeunaan masalah. Ngaliwatan sorangan, ngayakeun tina saha anu tés bebas, anjeunna bisa nyadiakeun bukti hukum angka badag. Kahareupna élmuwan Poisson na Laplace, anu digawé dina mimiti abad ke, éta bisa ngabuktikeun central aslina. Ti moment anu cara analisa kasalahan dina observasi kami ngamimitian migunakeun tiori probabiliti. Pihak sabudeureun elmu ieu teu bisa jeung Rusia élmuwan, rada Markov, Chebyshev na Dyapunov. Éta téh dumasar kana usaha anu di timpahkeun geniuses hébat, aman subjek salaku cabang ti matematika. Urang digawé inohong ieu dina ahir abad ke, sarta berkat kontribusi maranéhanana, geus kabuktian fenomena kayaning:

• hukum wilangan badag;
• Téori ranté Markov;
• Puseur wates teorema.

Ku kituna, sajarah kalahiran sains jeung jeung personalities utama nu nyumbang ka dinya, sagalana geus leuwih atawa kirang jelas. Kiwari éta waktu jeung daging kaluar sagala fakta.

konsep dasar

Sateuacan Anjeun tutul hukum na theorems kedah diajar konsep dasar tiori probabiliti. Acara eta ngawengku peran dominan. topik ieu téh rada éksténsif, tapi moal bisa ngarti kabeh sésana tanpa eta.

Acara dina teori probabilitas - eta Naon set hasil percobaan. Konsep fenomena ieu aya teu cukup. Ku kituna, élmuwan Lotman digawé di ieu wewengkon, geus ditembongkeun yen dina hal ieu urang ngobrol ngeunaan naon "kajadian, sanajan teu bisa lumangsung."

acara acak (tiori probabiliti bayaran perhatian husus ka aranjeunna) - mangrupakeun konsép anu ngalibatkeun pancen naon fenomena ngabogaan kamungkinan kajadian. Atawa, sabalikna, skenario kieu bisa lumangsung dina kinerja rupa-rupa kaayaan. Éta ogé patut nyaho yén ngeusian sakabéh volume fenomena kajadian acara ngan acak. tiori probabiliti nunjukkeun yen sagala kaayaan bisa diulang terus. Éta ngalaksanakeun maranéhna geus disebut "pangalaman" atawa "uji".

acara signifikan - ieu fenomena anu aya saratus persén di test ieu kajadian. Sasuai, acara teu mungkin - ieu téh hiji hal anu teu kajadian.

Ngagabungkeun pasang Aksi (conventionally kasus A jeung hal B) mangrupakeun fenomena nu lumangsung sakaligus. Éta nu disebut AB.

Jumlah pasangan acara A jeung B - C, dina basa sejen, lamun sahenteuna salah sahijina bakal (A atawa B), anjeun meunang hiji C. Rumus fenomena ditétélakeun ieu ditulis salaku C = A + B.

kamajuan sauyunan dina téori probabilitas ngakibatkeun yén dua kasus anu saling ekslusif. Dina waktu nu sarua aya di mana wae bisi moal bisa lumangsung. acara gabungan dina tiori probabiliti - éta antipoda maranéhanana. implication teh nya eta lamun A kajadian, teu preclude C.

Nentang kajadian (tiori probabiliti ngemutan aranjeunna di jéntré hébat), nu gampang kaharti. Hadé nungkulan aranjeunna di ngabandingkeun téh. Aranjeunna ampir kamajuan sakumaha sauyunan sarua dina téori probabilitas. Sanajan kitu, bédana maranéhanana nyaéta yén salah sahiji hiji pluralitas fenomena bisi wae kedah lumangsung.

acara dipikaresep disarengan - jelema lampah, kamungkinan pengulangan sarua. Sangkan eta jelas, anjeun tiasa ngabayangkeun tossing koin a: leungitna salah sahiji sisi nyaeta sarua probable leungitna lianna.

éta gampang mertimbangkeun conto favoring acara. Anggap aya hiji episode dina episode A. Kahiji - roll of a paeh jeung Advent di hiji angka ganjil, sarta kadua - penampilan jumlah lima dina dadu. Lajeng tétéla yén A mangrupa V. favored

acara bebas dina tiori probabiliti nu projected ngan dina dua atawa leuwih kali tur ngalibetkeun bebas tina sagala aksi ti lianna. Contona, A - dina leungitna buntut koin tossing, sarta B - dostavanie jack ti dek. Aranjeunna gaduh acara bebas dina teori probabilitas. Ti moment ieu eta janten jelas.

acara gumantung dina tiori probabiliti oge diidinan ngan pikeun set maranéhanana. Aranjeunna imply gumantungna tina salah dina sejenna, nyaeta, fenomena bisa lumangsung dina wungkul bisi pas A geus lumangsung atawa, sabalikna, henteu lumangsung nalika éta - kaayaan utama pikeun B.

Hasil tina percobaan acak diwangun ku komponén tunggal - éta acara dasar. tiori probabiliti nyebutkeun yén éta téh mangrupa fenomena anu dipigawé ngan sakali.

rumus dasar

Ku kituna, di luhur dianggap konsep "acara", "probability theory", dadaran istilah konci élmu ieu ogé dibikeun. Kiwari éta waktu keur familiarize sorangan jeung rumus penting. ungkapan ieu matematis dikonfirmasi sagala konsep utama dina misalna hiji subyek hésé sakumaha téori probabilitas. Probabilitas hiji kajadian sarta muterkeun hiji peran badag.

Hadé pikeun ngamimitian jeung rumus dasar kombinatorika. Na sateuacan Anjeun aranjeunna, eta sia tempo naon éta.

Kombinatorika - utamana cabang ti matematika, anjeunna geus diajar jumlah badag tina integer, sarta sagala rupa permutations boh angka na elemen maranéhanana, rupa data, jeung sajabana, ngarah kana sababaraha kombinasi ... Salian téori probabilitas, Industri ieu penting pikeun statistik, elmu komputer tur kriptografi.

Ku kituna ayeuna bisa ngaléngkah ka presentasi diri jeung rumus harti maranéhanana.

Kahiji tina ieu mangrupa babasan pikeun Jumlah permutations, éta saperti kieu:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 2 ⋅ ⋅ 1 = n!

Persamaan manglaku wungkul bisi lamun elemen beda ngan dina urutan tina susunan.

Ayeuna Rumus panempatan, éta Sigana mah ieu bakal dianggap:

A_n ^ m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (N - m)!

éksprési Ieu lumaku teu ukur keur hiji-hijina unsur panempatan urutan, tapi ogé nepi ka wangunan na.

Persamaan katilu kombinatorika, sarta eta geus kiwari dimungkinkeun, disebutna rumus keur Jumlah kombinasi:

C_n ^ m = n! : ((N - m))! : M!

Kombinasi disebut sampling nu teu maréntahkeun masing-masing nepi ka na dilarapkeun aturan ieu.

Jeung rumus di kombinatorika sumping ka ngartos gampang, ayeuna bisa balik ka harti klasik tina probabilitas. Sigana mah ekspresi kieu kieu:

P (A) = m: n.

Dina rumus ieu, m - nyaeta jumlah kaayaan kondusif ka acara Hiji, sarta n - Jumlah sarua jeung lengkep sakabéh acara dasar.

Aya loba ungkapan dina artikel nu moal dianggap nanaon tapi kapangaruhan bakal leuwih pangpentingna kayaning misalna, kamungkinan acara jumlah:

P (A + B) = P (A) + P (B) - central ieu nambahkeun hijina acara saling ekslusif;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - tapi ieu ngan pikeun nambahkeun cocog.

Kamungkinan karya acara:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - central ieu acara bebas;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A); P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) - na ieu keur gumantung.

Réngsé daptar Rumus acara. Téori probabilitas Kami ngabejaan teorema Bayes nu Sigana mah ieu:

P (H_m | a) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A | H_k)), m = 1, ..., n

Dina rumus ieu, H _1, H _2, ..., H _n - mangrupakeun set lengkep hipotesis.

Di eureun ieu aplikasi sampel Rumusna bakal kiwari dianggap keur tugas husus ti praktek.

conto

Lamun taliti diajar sagala cabang ti matematika, teu tanpa latihan na leyuran sampel. Jeung Teori probability: acara, conto dieu mangrupakeun hiji komponén integral confirming itungan ilmiah.

Rumus keur Jumlah permutations

Contona, dina hiji dek kartu gaduh tilu puluh kartu, dimimitian ku hiji nominal. Patarosan salajengna. Sabaraha cara ka melu dek supados kartu sareng nilai nyanghareupan hiji sareng dua teu ayana hareup?

tugas diatur, ayeuna hayu urang ngalih kana nungkulan eta. Kahiji maneh kudu nangtukeun jumlah permutations tina tilu puluh elemen, keur kaperluan ieu kami nyandak rumus di luhur, nu kabukti P_30 = 30!.

Dumasar aturan ieu, urang terang sabaraha pilihan aya iklas handap dek ku sababaraha cara, tapi urang kudu deducted ti maranehna aya jalma nu kahiji jeung kadua kartu bakal salajengna. Jang ngalampahkeun ieu, mimitian ku variasi, nalika kahiji perenahna di kadua. Tétéla éta peta mimiti butuh dua puluh salapan tempat - ti mimiti ka dua puluh kasalapan, sarta Kartu kadua ti kadua tilu puluh teh, kabukti dua puluh salapan korsi keur pasang kartu. Kahareupna nu batur bisa nyandak dua puluh dalapan korsi, sarta dina urutan nanaon. Hartina, keur nyusun ulang tina dua puluh dalapan kartu geus dua puluh dalapan pilihan P_28 = 28!

hasilna nyaeta lamun anggap we kaputusan, nalika kartu heula téh dina kasempetan tambahan kadua pikeun meunang 29 ⋅ 28! = 29!

Ngagunakeun métode anu sarua, Anjeun kudu ngitung jumlah pilihan kaleuleuwihan pikeun hal lamun kartu munggaran perenahna di handapeun kadua. Ogé diala 29 ⋅ 28! = 29!

Ti ieu kitu kieu yén pilihan tambahan 2 ⋅ 29!, Sedengkeun hartosna perlu ngumpulkeun dek 30! - 2 ⋅ 29!. Eta tetep ukur keur ngitung.

30! = 29! ⋅ 30; 30 - 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Ayeuna kami kudu ngalikeun babarengan sadaya nomer ti hiji nepi ka dua puluh salapan, lajeng di tungtung sadaya dikali 28. Jawaban diala 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32

Conto solusi. Rumus keur Jumlah akomodasi

Dina masalah ieu, anjeun kudu neangan kaluar sabaraha aya cara pikeun nyimpen lima belas jilid dina rak, tapi dina kaayaan anu ngan tilu puluh jilid.

Dina ieu tugas, anu kaputusan saeutik gampang batan saméméhna. Ngagunakeun rumus geus dipikawanoh, perlu keur ngitung jumlah total tilu puluh lokasi lima belas jilid.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ... ⋅ 28⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Respon masing-masing bakal sarua jeung 202 843 204 931 727 360 000.

Ayeuna butuh tugas saeutik leuwih hésé. Nu peryogi kauninga sabaraha aya cara ngatur kana tilu puluh-dua buku dina rak, ku proviso anu ngan lima belas jilid tiasa reside dina rak sarua.

Sateuacan awal kaputusan hoyong netelakeun yen sababaraha masalah bisa direngsekeun dina sababaraha cara, sarta dina ieu aya dua cara, tapi duanana salah jeung rumus sarua diterapkeun.

Dina ieu tugas, anjeun tiasa nyandak jawaban ti hiji saméméhna, alatan aya kami geus diitung jumlah kali anjeun tiasa ngeusian kaluar rak pikeun lima belas buku dina cara béda. Eta tos A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

The resimen kadua diitung ku rumus reshuffle, sabab ieu disimpen lima belas buku, sedengkeun sésana tina lima belas. Urang ngagunakeun rumus P_15 = 15!.

Tétéla yén jumlah bakal A_30 ^ 15 ⋅ P_15 cara, tapi, sajaba, produk sagala angka ti tilu puluh nepi ka genep belas bakal dikali produk ti nomer ti hiji nepi ka lima belas, dina tungtungna ngahurungkeun kaluar produk sagala angka ti hiji nepi ka tilu puluh, éta téh jawaban nyaeta 30!

Tapi masalah ieu bisa direngsekeun dina cara nu béda - gampang. Jang ngalampahkeun ieu, anjeun bisa ngabayangkeun nu aya salah rak keur tilu puluh buku. Sakabéh aranjeunna disimpen dina pesawat ieu, tapi lantaran kaayaan anu merlukeun yen aya dua rak, salah lila urang sawing dina satengah, dua robah warna ka warna lima belas. Ti ieu tétéla yén pikeun susunan kieu tiasa P_30 = 30!.

Conto solusi. Rumus keur Jumlah kombinasi

Anu dianggap varian tina masalah katilu kombinatorika. Nu peryogi kauninga sabaraha cara aya ngatur lima belas buku on kondisi nu kudu milih tina tilu puluh persis sarua.

Keur kaputusan baris, tangtosna, nerapkeun rumus keur Jumlah kombinasi. Ti kaayaan anu janten jelas yén urutan tina lima belas buku sarua teu penting. Jadi mimitina Anjeun kudu manggihan jumlah total tina kombinasi tilu puluh lima belas buku.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

Éta sadayana. Ngagunakeun rumus ieu, dina waktu shortest mungkin pikeun ngajawab masalah sapertos, jawaban masing-masing sarua jeung 155.117.520.

Conto solusi. Definisi klasik tina probabilitas

Ngagunakeun rumus di luhur, salah sahiji can nimu jawaban dina tugas basajan. Tapi jelas bakal nempo tur turutan kursus Peta.

tugas nunjukkeun yen dina jambangan aya sapuluh bal sakabéhna identik. Sahiji, opat konéng jeung genep bulao. Dicokot tina jambangan hiji bal. Ieu perlu nyaho kamungkinan dostavaniya bulao.

Pikeun ngajawab masalah perlu pikeun nunjuk dostavanie biru acara bola A. pangalaman ieu bisa boga sapuluh hasil nu, kahareupna SD jeung sarua dipikaresep. Dina waktu nu sarua, genep tina sapuluh anu nguntungkeun ka acara A. ngajawab rumus:

P (A) = 6: 10 = 0,6

Nerapkeun rumus ieu, kami geus diajar yén kamungkinan dostavaniya bola biru nyaéta 0,6.

Conto solusi. Kamungkinan jumlah acara

Anu bakal varian nu direngsekeun ku ngagunakeun rumus probabiliti Jumlah acara. Ku kituna, dibere kaayaan anu aya dua kasus, hiji heula nya abu jeung lima bal bodas, sedengkeun nu kadua - bal bodas dalapan abu na opat. Hasilna, wadah buleud kahiji jeung kadua geus nyokot on salah sahijina. Ieu diperlukeun pikeun manggihan naon anu Chances nu lacked nu bal anu abu bodas.

Pikeun ngajawab masalah ieu, perlu pikeun ngaidentipikasi acara.

• Ku kituna, A - urang boga bal hawuk kotak kahiji: P (A) = 1/6.
• A '- bohlam bodas ogé dicokot tina kotak kahiji: P (A') = 5/6.
• The - bal hawuk geus sasari tina conduit kadua: P (B) = 2/3.
• B '- nyandak bal hawuk tina laci kadua: P (B') = 1/3.

Numutkeun masalah éta diperlukeun salah sahiji fenomena kajadian: AB 'atawa' B. Ngagunakeun rumus, urang ménta: P (AB ') = 1/18, P (A'B) = 10/18.

Ayeuna rumus ngalikeun probabilitas ieu dipaké. Hareup, pikeun manggihan jawaban, Anjeun kudu nerapkeun persamaan maranéhanana nambahkeun:

P = P (AB '+ A'B) = P (AB') + P (A'B) = 11/18.

Éta kumaha, ngagunakeun rumus, anjeun tiasa ngajawab masalah sapertos.

hasil

kertas diwakilan ka informasi dina "tiori probabiliti", kamungkinan kajadian anu maénkeun peran penting. Tangtu, moal sagalana geus dianggap, tapi dina dasar téks dibere, Anjeun sacara téoritis bisa meunang acquainted jeung cabang ieu matematika. elmu dianggap tiasa mangpaat henteu ngan dina bisnis profésional, tapi ogé dina kahirupan sapopoe. Anjeun bisa make eta keur ngitung sagala kamungkinan hiji acara.

téks nu ieu ogé dipangaruhan ku kaping signifikan dina sajarah ngembangkeun tiori probabiliti salaku elmu, sarta ngaran jalma anu karya geus nempatkeun kana eta. Éta kumaha ngarasa panasaran manusa geus ngarah ka kanyataan yén urang geus diajar kana cacah, sanajan acara acak. Sakali aranjeunna ngan museurkeun ieu, tapi kiwari eta geus dipikawanoh ka sadaya. Sarta salah sahiji teu bisa nyebutkeun naon anu bakal kajadian mun urang di mangsa nu bakal datang, kumaha pamanggihan cemerlang lianna nu patali jeung tiori ditaliti, bakal jadi komitmen. Tapi hiji hal anu pasti - pangajian kénéh teu patut eta!