Biasa polyhedra: elemen simétri jeung aréa

Géométri anu geulis sabab, kawas aljabar, nu teu salawasna jelas naha na naon pikir, mere hiji objek visual. dunya ieu éndah rupa awak ngahias dina polyhedra biasa.

Inpo umum dina polyhedra biasa

Numutkeun loba, polyhedrons biasa, atawa sabab nu disebut padet Platonic, mibanda sipat unik. Kalawan objék ieu disambungkeun sababaraha hipotésis saintifik. Lamun anjeun ngawitan diajar data geometri awak, Anjeun nyadar yén ampir teu nyaho nanaon tentang konsép kayaning polyhedra biasa. The presentasi objék ieu di sakola teu salawasna metot, jadi loba ulah malah teu apal naon anu maranéhna disebut. Dina mémori kalolobaan jalma éta ngan cukang. Euweuh sahiji géométri awakna henteu mibanda kasampurnaan kayaning polyhedrons biasa. Sakabéh ngaran ieu awak geometric asalna ti jaman Yunani. Aranjeunna ngawakilan Jumlah rupa: tetrahedron nu - opat sided, hexahedron - Allen, octahedron - octagon, dodecahedron - dodecahedral, icosahedron - ikosahédral. Sakabéh ieu awak geometric ngawengku hiji tempat penting dina konsepsi Plato ngeunaan alam semesta. Opat di antarana aya embodied elemen atawa badan: tetrahedron - api, icosahedron nu - cai kubus - bumi, octahedron - hawa. Dodecahedron embodied sagala hal. Anjeunna dianggap utama, salaku simbol alam semesta.

Generalisasi sacara tina konsép polyhedron a

Polyhedron mangrupakeun kempelan terhingga polygons misalna yén:

• unggal sisi salah sahiji polygons nyaeta dina waktos anu sareng ngan hiji sisi tina polygon sejen dina sisi sarua;
• ti masing-masing teh polygons Anjeun bisa leumpang ka sejen ku jalan ngalirkeun meungkeut thereto polygons.

Polygons constituting polyhedron nu ngagambarkeun rupa sarta sisi maranéhanana - tulang rusuk. hucu polyhedra anu hucu of polygons. Lamun polygon istilah ngartos polylines katutup datar, lajeng datangna hiji harti polyhedron a. Dina kasus dimana ku istilah ieu dimaksudkan bagian tina pesawat anu keur bounded ku garis pegat, éta bakal dipikaharti permukaan diwangun ku potongan polygonal. polyhedron gilig disebut awak bohong dina hiji sisi pesawat, padeukeut jeung rupa na.

harti sejen tina hiji polyhedron sarta elemen na

Polyhedron disebut beungeut diwangun ku polygons, nu ngawatesan awak geometric. Aranjeunna:

• non-convex;
• gilig (bener jeung salah).

Biasa polyhedron - mangrupakeun polyhedron gilig kalawan simétri maximal. Unsur polyhedra biasa:

• Tetrahedron: 6 tulang rusuk 4 rupa 5 hucu;
• hexahedron (kubus) 12, 6, 8;
• dodecahedron 30, 12, 20;
• octahedron 12, 8, 6;
• icosahedron 30, 20, 12.

central Euler urang

Ngawangun hubungan antara Jumlah edges, hucu sarta rupa anu topologically sarua jeung lapisan a. Nambahkeun jumlah hucu jeung rupa (B + D) gaduh polyhedra biasa béda jeung ngabandingkeun sareng Jumlah tulang rusuk, kasebut nyaéta dimungkinkeun pikeun nangtukeun hiji aturan: jumlah Jumlah rupa sarua jeung Jumlah hucu na edges (P) ngaronjat ku 2. Ieu mungkin nurunkeun rumus basajan:

• B + D = P + 2.

Rumus ieu valid keur sakabeh polyhedra convex.

definisi dasar

Konsep anu polyhedron biasa téh teu mungkin keur ngajelaskeun dina hiji kalimah. Éta leuwih hargana jeung polumeu. Hiji awak bisa dipikawanoh salaku misalna, perlu yen eta meets sababaraha definisi. Ku kituna, awak geometric bakal polyhedron biasa sawaktos kondisi ieu patepung:

• eta geus gilig;
• jumlah anu sarua tina tulang rusuk converges di unggal hucu na;
• kabéh facets sahiji na - polygons biasa, sarua jeung silih;
• Kabéh sudut dihedral sarua.

Sipat polyhedra biasa

Aya 5 tipena béda polyhedra biasa:

1. Kubus (hexahedron) - mibanda sudut Apex datar téh 90 °. Cai mibanda sudut 3 sided. Jumlah raray sudut dina Apex of 270 °.
2. Tetrahedron - sudut Apex datar tina - 60 °. Cai mibanda sudut 3 sided. Jumlah raray sudut dina Apex nu - 180 °.
3. Octahedron - sudut Apex datar tina - 60 °. Cai mibanda sudut opat sided. Jumlah raray sudut dina Apex nu - 240 °.
4. Dodecahedron - sudut Apex datar tina 108 °. Cai mibanda sudut 3 sided. Jumlah raray sudut dina Apex nu - 324 °.
5. Icosahedron - mibanda sudut Apex datar tina - 60 °. Cai mibanda sudut lima sided. Jumlah raray sudut dina Apex 300 °.

Wewengkon polyhedra biasa

Wewengkon permukaan awak geometri (S) diitung salaku aréa polygon biasa dikali Jumlah facets (G):

• S = (a: 2) x 2G ctg π / p.

Volume hiji polyhedron biasa

nilai ieu diitung ku cara ngalikeun volume piramida biasa anu dasarna mangrupakeun polygon biasa, jumlah tina rupa, sarta jangkungna na nyaeta jari-jari inscribed tina lapisan (r):

• V = 1: 3rS.

Jilid tina polyhedra biasa

Kawas naon geometric padet, polyhedra biasa lianna mibanda jilid béda. Di handap ieu aya rumus ku nu maranéhna bisa ngitung:

• Tetrahedron: α x 3√2: 12;
• octahedron: α x 3√2: 3;
• icosahedron; α x 3;
• hexahedron (kubus): α x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• dodecahedron: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Unsur polyhedra biasa

Hexahedron na octahedron téh awak geometric dual. Dina basa sejen, aranjeunna bisa kaluar unggal séjén dina acara yén centroid hiji dicokot sakumaha luhureun séjénna, sarta sabalikna. Ogé nu dual icosahedron na dodecahedron. Dirina wungkul tetrahedron nyaeta dual. Numutkeun metoda Euclid tiasa didapet ti hexahedron dodecahedron ku diwangun "roofs" dina rupa cukang. The hucu of tetrahedron aya wae 4 hucu sahiji cukang, moal pasang meungkeut sapanjang tepi. Ti hexahedron (kubus) tiasa didapet, sarta polyhedra biasa lianna. Najan kanyataan yén polygons biasa aya henteu kaetung, polyhedra biasa, aya ukur 5.

The radii of polygons biasa

Kalawan unggal ieu awak geometric anu spheres concentric disambungkeun 3:

• digambarkeun ngaliwatan hucu;
• inscribed ngeunaan unggal rupa na di tengah eta;
• median ngeunaan sagala edges di tengahna.

The radius lapisan digambarkeun ku rumus diitung:

• Sunda = a: 2 x tg π / g x tg θ: 2.

The radius lapisan inscribed diitung saperti kieu:

• Sunda = a: 2 x ctg π / p x tg θ: 2,

dimana θ - sudut dihedral nu antara facets meungkeut.

Radius median tina lapisan nu bisa diitung ngagunakeun rumus:

• ρ = a cos π / p: 2 dosa π / h,

mana h = gedéna 4.6, 6,10, atawa 10. Rasio tina radii tina inscribed dijelaskeun tur simétris jeung hormat ka p sarta q. Nya dikira saperti kieu:

• Sunda / r = tg π / p x tg π / q.

The simetri polyhedra

The simétri tina polyhedra biasa téh dipikaresep primér pikeun ieu awak geometric. Hal ieu dipikaharti saperti gerakan awak dina spasi nu daun jumlah anu sarua tina hucu, rupa jeung edges. Kalayan kecap séjén, dina pangaruh simétri transformasi ujung, vertex, atanapi raray nahan posisi aslina, atanapi belah kana posisi ngarep iga sejen, anu hucu atawa rupa lianna.

Unsur simétri tina polyhedra biasa nu umum ka sadaya jenis padet geometric. Didieu deui anu dilakukeun dina transformasi idéntitas nu daun salah sahiji titik dina posisi aslina. Ku kituna, nalika anjeun giliran prisma polygonal bisa meunang sababaraha symmetries. Salah sahiji aranjeunna bisa digambarkeun salaku produk tina réfléksi. Simétri, nu ngarupakeun produk tina hiji malah Jumlah reflections, disebutna langsung. Lamun produk hiji angka ganjil of reflections, mangka disebutna eupan balik. Ku kituna, sagala robah warna ka warna sabudeureun jalur ngagambarkeun simétri lempeng. Sagala cerminan polyhedron - teh simétri tibalik.

Pikeun leuwih hadé ngartos unsur simétri tina polyhedra biasa, anjeun tiasa nyandak conto tetrahedron nu. Sagala garis anu bakal nembus salah sahiji hucu jeung puseur tina bentuk geometri, bakal lumangsung, sarta ngaliwatan puseur ujung sabalikna mun eta. Unggal robah warna ka warna 120 sarta 240 ° sabudeureun jalur milik simétri tétrahédral jamak. Kusabab eta 4 hucu jeung rupa, urang meunang jumlahna aya dalapan symmetries langsung. Salah sahiji garis ngaliwatan tengah edges jeung puseur awak, eta pas liwat tengah ujung sabalikna. Sagala rotasi 180 °, disebut satengah péngkolan sabudeureun hiji simétri lempeng. Kusabab tetrahedron ngabogaan tilu pasang tulang rusuk, anjeun meunang tilu garis tina simétri. Dumasar di luhur, bisa dicindekkeun yén total jumlah simétri langsung, sarta kaasup transformasi identitas, bakal nepi ka dua belas. Séjén tetrahedron simétri langsung teu aya, tapi boga 12 simétri tibalik. Akibatna, ukur 24 dicirikeun symmetries tetrahedron. Pikeun kajelasan, urang tiasa ngawangun modél a tetrahedron biasa dijieun tina kardus jeung pastikeun éta awak geometric bener boga ukur 24 simétri.

Dodecahedron na icosahedron - pangdeukeutna ka aréa awak. Icosahedron boga angka pangbadagna rupa, sudut dihedral na paling sadaya tiasa pageuh nempel kana lapisan inscribed. Dodecahedron boga cacad sudut solid panghandapna sudut panggedéna di vertex nu. Bisa ngamaksimalkeun ngeusian dina lapisan circumscribed.

scanning polyhedra

polyhedra scan biasa, nu urang sadayana nyangkut babarengan dina budak leutik, geus loba konsep. Mun aya sakumpulan polygons, unggal sisi nu geus dicirikeun ku ngan hiji sisi tina polyhedron, nu idéntifikasi sahiji pihak kudu sasuai jeung dua kaayaan:

• unggal polygon, anjeun tiasa balik ka polygon ngabogaan idéntifikasi tina samping nu;
• samping diwanoh kudu boga panjang anu sarua.

Éta susunan polygons nu minuhan syarat ieu, sarta disebut scan polyhedron. Unggal awak ieu boga sababaraha di antarana. Contona, cukang nu aya 11 lembar.